[琐碎简记]高斯函数的积分方法

关于高斯函数

$$f(x)=e^{-ax^2}$$$$\int_{-\infty }^{\infty}f(x) dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$

具体求解

首先考虑基础积分：

令$I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$

其本身是无法直接求解的，一个非常巧妙的方法是求$I^2$

$$I^2 = (\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2 = (\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy)$$$$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dy$$

可做极坐标换元等，求得$I^2=\pi,I=\sqrt{\pi}$

再考虑含参的情况：

$$\int_{-\infty }^{\infty}e^{-ax^2}dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}d\frac{u}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

问题在于会有弄错原理的可能：

$$\int_{-\infty }^{\infty}e^{-2x^2}dx = \int_{-\infty }^{\infty}(e^{-x^2})^2dx=\int_{-\infty }^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty }^{\infty}e^{-x^2}dx $$$$\int_{-\infty }^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty }^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty }^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty }^{\infty}e^{-y^2}dy = \pi$$

但这样是错的。原因在于一般而言$\int{(f(x))^a}dx\ne(\int{f(x)}dx)^a$，而极坐标算法事实上从来没有出现过两个$x$，应该是一直一个$x$一个$y$参与运算。